Should (прошедшая форма от shall) употребляется в качестве вспомогательного и модального глагола в сочетании с инфинитивом смыслового глагола:

1 Для выражения будущего действия в придаточных предложениях, когда глагол главного предложения стоит в прошедшем времени.
a) Вспомогательный. С 1-м лицом ед. и мн. числа:
I said that I should be glad to see her.
Я сказал, что буду рад её видеть.
I said that we should have a meeting on Monday.
Я сказал, что у нас будет собрание в понедельник.
б) Модальный. Со 2–м и 3-м лицом ед. и мн. числа, придает оттенок обещания, приказания, угрозы, предостережения со стороны говорящего:
He said that she should have the books in a few days.
Он сказал, что она получит книги через несколько дней.
He said they should not have any cause for complaint.
Он сказал, что у них не будет основания жаловаться (обещание).
He said they should write your exercises at once.
Он сказал, чтобы они написали упражнения немедленно (приказание).
He said they should regret it if they did it.
Он сказал, что они пожалеют, если они это сделают (угроза).

2 Употребляется с 1-м и 3-м лицом ед. и мн. числа в вопросительном предложении при обращении в косвенную речь вопроса, задаваемого с целью получить распоряжение, указание от собеседника, если глагол главного предложения стоит в прошедшем времени. Should имеет модальное значение, придает оттенок долженствования:
I asked him where I should wait for him.
Я спросил его, где мне его ждать.
I asked her whether he should come in the morning.
Я спросил ее, приходить ли ему утром.

3 Should употребляется с 1-м лицом ед. и мн. числа в главной части условных предложений второго и третьего типа. Should в сочетании с инфинитивом переводится на русский язык сослагательным наклонением:
I should go there if I had time.
Я пошел бы туда, если бы у меня было время.
We should have caught the train if we had walked faster.
Мы успели бы на поезд, если бы мы шли скорее.
В современном языке вместо should часто употребляется would.

4 Should употребляется в придаточной части условных предложений первого и второго типа для подчеркивания малой вероятности делаемого предположения. В этом случае Should употребляется со всеми лицами ед. и мн. числа:
а) в условных предложениях первого типа should + Infinitive переводится будущим временем:
If they should come, I shall speak to them about it.
Если они придут, я поговорю с ними об этом.
б) в предложениях второго типа should + Infinitive переводится сослагательным наклонением:
If he should refuse, they would be greatly disappointed.
Если бы он отказался, они были бы очень разочарованы.

5 Should употребляется в придаточных предложениях, начинающихся с союза that после безличных оборотов типа: it is necessary – это необходимо, it is important — это важно, it is desirable – желательно, it is impossible – невозможно, it is improbable – невероятно, it is better – лучше, со всеми лицами ед. и мн. числа, независимо от времени, в котором стоит глагол главного предложения. Такие предложения переводятся – чтобы + глагол в сослагательном наклонении:
He suggested that the case should be postponed.
Он предложил, чтобы дело было отложено.
He recommended that the goods should be shipped at once.
Он рекомендовал, чтобы товары были отправлены немедленно.
The doctor insists that he should go to the south.
Доктор настаивает, чтобы он приехал на юг.
He ordered that the steamer should be discharged at once.
Без should можно сделать следующее предложение:
He ordered that the steamer be discharged at once.
Он приказал, чтобы пароход был разгружен немедленно.

6 Should употребляется в дополнительных придаточных предложениях, когда сказуемое главного предложения выражает чувство сожаления, удивления, негодования, радости со всеми лицами ед. и мн. числа, независимо от времени, в котором стоит глагол главного предложения:
I am sorry you should think so. Жаль, что вы так думаете.
I regret you should not know it.
Я сожалею, что вы этого не знаете.
Если действие относится к тому же времени, к которому относится глагол главного предложения, то употребляется should + Infinitive:
I was surprised that he should behave so.
Я удивлен, что он так себя ведет.
I was surprised that he should have behaved so.
Я удивлен, что он так себя вел.

7 Should употребляется в придаточных предложениях цели в сочетании с Indefinite Infinitive со всеми лицами ед. и мн.числа, независимо от времени, в котором стоит глагол главного предложения. Предложения переводятся на русский язык придаточными предложениями – чтобы + глагол в сослагательном наклонении:
I’ll ring him up at once so that he shouldn’t wait for me.
Я ему позвоню немедленно, чтобы он не ждал меня.
I’ll open the window so that it should be cooler in the room.
Я открою окно, чтобы в комнате было прохладнее.

8 Should употребляется со всеми лицами в прямых и косвенных вопросах, начинающихся с why и выражающих сильное удивление, недоумение:
Why should you dislike him so much?
Почему вы его так не любите?
I don’t understand why you should be angry with him.
Я не понимаю, почему вы так сердитесь на него.

9 Should употребляется для выражения морального долга или совета. Should в этом случае имеет значение — должен, следует, следовало бы и употребляется со всеми лицами ед. и мн:
He should help them.
Он должен (ему следует, следовало бы) помочь им.
You should call on him tomorrow.
Вы должны (вам следует, вам следовало бы) пойти к нему завтра.

10 Should +Perfect Infinitive употребляется в по отношению к прошедшему времени и выражает, что лицо, о котором идет речь, не выполнило своего долга или поступило по мнению говорящего неправильно, т.е. выражает порицание или упрек:
He should have helped them.
Он должен был (ему следовало, следовало бы) помочь им.
You shouldn’t have gone there yesterday. Вы не должны были (вам не следовало, не следовало бы) ходить туда вчера.

Глаголы: модальные и вспомогательные глаголы,
to be to, to have to, to do, shall, will, would, can, could, may, might, must, ought to, need