Seek, search и look for
Все три выражения имеют значение — искать. Давайте рассмотрим, что и как ищем!

Seek [siːk], sought
seek for/after) искать, разыскивать; пытаться найти (работу, помощь, информацию, человека, природные ресурсы и т.д)
For over 200 years, men have sought for ore in this area.
В течение двухсот лет люди искали руду в этих местах.
seek through обыскивать (место), прочёсывать (в поисках кого-л./чего-л.)
They sought the whole house, in vain. Они обыскали весь дом, но всё было напрасно.
Есть у этого слова и еще значения —  добиваться (чего-л.), стремиться (к чему-л.), предпринимать попытки, пытаться, обращаться (за помощью), прибегать (к чему-л.). Seek – это формальный глагол, в разговорной повседневной речи его часто заменяют на look for.

To look for — искать (кого-л./что-л.) Слово look употребляется с этим значением именно с предлогом for. И из всех трех глаголов является самым часто употребляемым в повседневной разговорной речи.
What are you looking for here? Что ты здесь ищешь?
The police and the villagers are out in the woods, looking for the missing child. Полиция и жители деревни прочёсывают лес в поисках пропавшего ребёнка.
to look for trouble — искать себе неприятности

Search [sɜːʧ] искать; вести поиски, разыскивать, обшаривать, обыскивать; прочёсывать (в поисках чего-л.).
В отличие от предыдущих выражений – это более тщательный поиск, и даже — обыск и досмотр. Очень часто это слово употребляется в компьютерной терминологии.
Есть и дополнительные значения —  расследование (какого-л. дела), изучение (документов, литературы с целью получения какой-л. информации)
to conduct/make a search — искать, разыскивать (кого-л./что-л.)
Many people spend years searching after peace of mind.
Многие люди проводят годы в поисках душевного покоя.
I spent ten minutes searching for the key, and it was in my bag all the time!  Я целых десять минут искал ключ, а он всё это время был у меня в сумке.
Police with dogs are searching through the woods for the missing child.  Полиция с собаками прочёсывает лес в поисках пропавшего ребёнка.
Стоит отметить разницу в употреблении самого глагола search и search с предлогом for.
Если, например, полиция search a man, то это значит, что они обыскивают самого человека.
Но, если полиция search for a man — они хотят знать, где же этот человек находится, то есть они разыскивают самого человека.
The police search a man. Полиция обыскивает мужчину.
The police search for a man. Полиция ищет мужчину.

Как видно из приведенных примеров seek, search и look for со значением искать вполне взаимозаменяемы.
Но, к нашему большому сожалению, у них есть и отличающиеся значения. И для этих значений, соответственно и синонимы будут другие!

Неправильные глаголы lay и lie представляют большую сложность для изучающих. Рассмотрим — почему?

Lie (лежать) lie (present) – lay (past) – lain (past participle)
Lie (лгать) lie (present) – lied (past) – lied (past participle)
Lay (класть) lay (present) –  laid (past) – laid (past participle).

Глагол lie — lay – lain (лежать):
Emily continued to lie in bed the whole day. Эмили продолжала лежать в постели целый день.
He lay down and rested for a while. Он лег и немного отдохнул.
John scrabbled away just before a stone hit the ground where he had lain. Джон едва успел отползти, как на то место, где он лежал, упал камень.

Обратите внимание! написание -ing формы является исключением и ее надо запомнить lie – lying.
Molly is lying on the sofa. Молли лежит на диване.

Выражения с глаголом lie (лежать):
lie in а bed – лежать в кровати
lie down – прилечь
lie ahead – быть впереди
lie open – быть как на ладони

Глагол lie — lied – lied (лгать)
Глагол lie (лгать) пишется и произносится абсолютно идентично с глаголом lie (лежать), но это правильный глагол.

I never lie to my parents. Я никогда не лгу моим родителям.
They lied to all the world. Они лгали всему свету.
Had he lied to her before? Лгал ли он ей раньше?
Are you lying? Ты лжешь?

Выражения с глаголом lie (лгать):
lie on purpose – лгать намеренно
lie to somebody – лгать кому-либо

Глагол lay – laid – laid (класть/положить)
I usually lay the table. Я обычно накрываю на стол.
She laid her hands upon my head. Она положила руки мне на голову.
We have laid a gas pipeline on the floor of the Black Sea.  Мы проложили трубопроводную газовую систему по дну Чёрного моря.

Глагол lay требует после себя дополнение: Lay somebody/something (класть кого/что).

Выражения с глаголом lay:
Lay the table – накрыть на стол
Lay eggs – нести яйца
lay a bet on – держать пари
lay a claim to – предъявлять права на
lay a ghost – изгонять духа
lay a tax – облагать налогом
lay an embargo – накладывать эмбарго
lay before the court – выступать в суде

Exercise 1. Используйте глагол lie в нужной форме. Обратите внимание на перевод (лгать/лежать).

1. Madame Kataev was a very stout woman, who did nothing but ________ in her bed.
2. I admire the way Igor can ________, putting reason on his side.
3. He hoped that Emma had not _____ to him.
4. No one had ever _______ better than Jared _______.
5. Sara pulled off her clothes and _____ down on the bed.
6. I know that now she _______ on her back, sunlight making her small, oval face glow.
7. Yesterday he ______ down to sleep without supper.
8. Won’t you ______ down?
9. Ruthie, who had ______ pale in bed all weekend, was gone on Tuesday morning.
10. I’ve _____ awake figuring why they should come see me.
11. Разница между lie и lay: ответы к упражнениям

Упражнение 1.
1 Lie (lay), 2 lie, 3 lied, 4 lied/ lied, 5 lay, 6 is lying, 7 lay, 8 lie, 9 lain, 10 lain (been lying)

Упражнение 2. Choose the right answer.
1. On the window lied/lay/laid an open letter from Olga.
2. And he was laying/lying/lieing dead at my feet.
3. They locked the door, and both laid/lay/lied down again.
4. John was free to lay/lie/be laying in bed as long as he liked.
5. The sick woman lay/lied/laid her hand upon her attendant’s arm.
6. Above all, don’t lie/lay/lain to yourself.
7. I lay/lied/laid the tea-things on the table.
8. It had only lied/lay/lain there a few days.
9. The healer lay/lied/laid the boy on one of several pallets.
10. Our paths have lied/lay/lain so far apart!
11. On a little table, lied/lay/lain three or four books
12. Giraud took two small objects from his pocket and lay/lied/laid them down on the table.
13. She moved closer and lay/lied/laid her cheek in his palm.
Упражнение 2. 1 lay, 2 lying, 3 lay, 4 lie, 5 laid, 6 lie, 7 laid, 8 lain 9 laid, 10 lain, 11 lay, 12 laid, 13 laid